¿Cómo calcular el valor límite manualmente y utilizando una calculadora en línea?

Los límites son un concepto fundamental en matemáticas, especialmente en cálculo, porque proporcionan el marco necesario para tratar con cantidades que se acercan a un valor particular sin necesariamente alcanzarlo.

Esto permite la definición y el análisis precisos del cambio continuo. Dado que no podemos negar la importancia de los límites, es esencial aprender los procedimientos y técnicas adecuados que se requieren para resolverlos.

Los límites se pueden resolver tanto manualmente como a través de calculadoras en línea desarrolladas específicamente para este propósito. En este artículo, repasaremos ambos métodos en detalle.

Comprender su fórmula también es importante para aprender el método correcto que resuelva los límites. Esto sentará las bases para una sólida habilidad de resolución de límites. Repasemos primero la definición y la fórmula de los límites.

¿Qué son los límites?

Los límites describen el comportamiento de las funciones a medida que se acercan a un punto determinado desde cualquier dirección. En otras palabras, ayudan a comprender el valor al que se aproxima una función a medida que la entrada (o argumento) de la función se acerca a un valor determinado.

Los límites son esenciales para definir los conceptos más críticos en cálculo:

Continuidad: Una función es continua en un punto si se aproxima a un valor específico a medida que la entrada se acerca a ese punto. Los límites hacen que esto sea preciso.

Derivados: La derivada de una función en un punto, que representa la tasa de cambio, se define como un límite.

Integrales: La integral, que representa la acumulación de cantidades, se define a través de límites de sumas.

Fórmula de límite:

Sea f: R → R una función definida en un subconjunto de los números reales, y sean L y c números reales. La declaración

Lim_x→c f(x) = L

significa que para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x dentro del dominio de f, si

0 < |x – c| < δ entonces |f(x) – L| < ε.

Componentes:

• Para cada ε: Esta parte de la definición implica que no importa cuán pequeño sea el número positivo ε (que representa el margen de error alrededor de L), se debe cumplir la condición que sigue. ε es una medida de lo cerca que queremos que f(x) esté de L.
• Existe una δ: Para cada ε, debe existir un δ correspondiente (un número positivo que representa un margen alrededor de c), tal que si x está dentro de esta δ distancia de c, excepto posiblemente en c mismo…
• Si 0 < |x – c| < δ: Esta condición especifica que x debe ser diferente de c (por lo tanto, 0 < |x – c| y dentro de una δ distancia de c. Esto crea una vecindad δ alrededor de c, excluyendo c en sí.
• Entonces |f(x) – L| < ε: Si x satisface la condición anterior, entonces f(x) debe estar a una distancia δ de L. Esto asegura que los valores de f(x) estén tan cerca de L como se desee, reflejando el concepto de aproximación a un límite.

Tipos de límites:

• Límites unilaterales: Son límites en los que la aproximación al punto a es desde la izquierda (denotada Lim_x→c^+ f(x)) o desde la derecha (denotada Lim_x→c^- f(x)). Los límites unilaterales son útiles para funciones que se comportan de forma diferente a ambos lados de un punto.
• Límites infinitos: Se producen cuando los valores de f(x) aumentan o disminuyen sin límites a medida que x se acerca a un determinado valor. Esto se denota como Lim_x→c f(x)= ∞ o Lim_x→c f(x)= -∞.
• Límites en el infinito: Describen el comportamiento de una función cuando x se vuelve muy grande o muy pequeña (se aproxima a ∞ o –∞). Examina el comportamiento a largo plazo de f(x) a medida que x se aleja del origen.

¿Cómo calcular el valor límite manualmente?

Dado que las funciones son de varios tipos, los límites también se resuelven de manera diferente para cada tipo. Hay algunas técnicas que ayudan a simplificar los límites. Discutiremos cada uno con un ejemplo.

Técnicas para resolver Límites:

A continuación, se muestra una descripción general de algunas técnicas comunes utilizadas para resolver límites:

1. Sustitución directa

Este es el primer y más sencillo método que puedes probar. Si la función es continua en el punto de interés, puede encontrar el límite sustituyendo directamente el punto en la función.

Cuándo utilizarlo: Use este método cuando la función sea continua en el punto para el que está evaluando el límite.

Ejemplo: Lim_x→2(3x^2 + 2x – 5)

Dado que la función es un polinomio, y los polinomios son continuos en todas partes, podemos sustituir directamente x = 2 en la función.

f(2) = (3(2)^2 + 2(2) – 5)

f(2) = 3(4)+4−5 = 12+4−5

[f(2) = 11

2. Factorización y simplificación

Factoriza el numerador y el denominador, si es posible, y simplifica la expresión cancelando los factores comunes. Este método a menudo resuelve formas indeterminadas como 0/0.

Cuándo utilizarlo: Aplica esta técnica a polinomios o funciones racionales en las que encuentres formas indeterminadas en la sustitución directa.

Ejemplo:

Considere la función:

[f(x) = {x^2 – 4} / {x – 2}

Y queremos hallar el límite cuando x tiende a 2.

Lim_x→2 {x^2 – 4}/{x – 2}

Esta es una forma indeterminada, por lo que no podemos evaluar el límite directamente. Aquí es donde entran en juego el factoring y la simplificación.

Por lo tanto, enfoque utilizando el factoraje y la simplificación. El numerador se puede factorizar usando la fórmula de la diferencia de cuadrados:

x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2)

Simplifique la expresión. La expresión de la función se convierte en:

{(x + 2)(x – 2)} / {x – 2}

Podemos cancelar el término (x−2) en el numerador y el denominador, asumiendo (x≠2), para evitar la división por cero:

{(x + 2)(x – 2)} / {x – 2} = x + 2

Ahora que la expresión está simplificada, podemos volver a aplicar el límite:

Lim_x→2 (x + 2)

Usando la sustitución directa, encontramos:

2 + 2 = 4

Por lo tanto, Lim_x→2 {x^2 – 4}/{x – 2} = 4

3. Conjugación

Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado es particularmente útil para funciones que involucran raíces cuadradas. Esta técnica a menudo ayuda a eliminar los radicales y simplificar la expresión.

Cuándo utilizarlo: Utilice la conjugación para límites que impliquen raíces cuadradas o expresiones complejas en las que la sustitución directa conduzca a formas indeterminadas.

Ejemplo:

Considere la función:

f(x) = {√(x + 4) – 2} / {x}

Halla el límite cuando x tiende a 0:

Lim_x→0 {√(x + 4) – 2} / {x}

Como sabemos, al observar la función, que la sustitución directa no es posible, use el enfoque conjugado.

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del numerador para eliminar la raíz cuadrada:

{√(x + 4) – 2} / {x} * {√(x + 4) + 2} / {√(x + 4) + 2}

Aplicando la multiplicación conjugada en el numerador y simplificando:

{√(x + 4)² – 2²} / {x} √(x + 4) + 2}

Después de la simplificación, la expresión se convierte en:

{x + 4 – 4} / {x} √(x + 4) + 2}

1/√(x + 4) + 2

Ahora, aplica la sustitución directa a la expresión simplificada:

Lim_x→0 [1/√(x + 4) + 2]

Usando la sustitución directa, x = 0, encontramos:

1/√(0 + 4) + 2 = 1/ (2+2) = 1/4

4. Denominadores comunes

Encuentre un denominador común para las fracciones dentro de la función para combinarlas en una sola fracción, lo que podría simplificar la evaluación del límite.

Cuándo utilizarlo: Este método es útil para funciones con varios términos fraccionarios, especialmente cuando la sustitución directa no funciona directamente.

Ejemplo:

La función es:

f(x) = 1/(x – 1) – 2/(x + 2). Halla el límite cuando x tiende a 1.

El denominador común de las fracciones 1/(x-1) y 2/(x+2) es (x-1) (x+2)

Reescribe cada fracción con el denominador común.

f(x) = (x + 2) – 2(x – 1) / (x – 1)(x + 2)

Simplifica el numerador:

f(x) = (x + 2) – 2x – 2) / (x – 1)(x + 2) = (-x + 4) / (x – 1)(x + 2)

Ahora, con el común denominador establecido, volvemos a intentar el límite:

Lim_x→0 (-x + 4) / (x – 1)(x + 2)

Sustituyendo directamente x = 1 en la expresión simplificada:

(-1 + 4) / (1 – 1)(1 + 2) = 3 / 0*3

5. La regla de L’Hôpital

Cuando un límite produce una forma indeterminada como 0/0 o ∞/∞, la Regla de L’Hôpital le permite diferenciar el numerador y el denominador por separado y luego tomar el límite de la función resultante.

Cuándo utilizarlo: La regla de L’Hôpital es poderosa, pero solo debe usarse cuando se trata de formas indeterminadas y tanto el numerador como el denominador son diferenciables.

Ejemplo:

Considere la función:

f(x) = {e^x – e} / {x}

Halla el límite cuando x tiende a 0.

Diferencia el numerador y el denominador. En primer lugar, encontramos las derivadas del numerador y el denominador:

• Derivada del numerador (f'(x)): d/dx(e^x-e) = e^x
• Derivada del denominador (g'(x): d/dx (x) = 1

Usando la Regla de L’Hôpital, ahora reevaluamos el límite con las derivadas:

Lim_x→0 e^x / 1

La sustitución directa ahora es sencilla:

Lim_x→0 e^x = e^0 = 1

¿Cómo calcular el valor límite usando una calculadora en línea?

La alternativa al cálculo manual de los límites es utilizar una calculadora en línea diseñada para este propósito, por ejemplo, el Solucionador de límites de Allmath. Dichas calculadoras hacen el análisis de la función y determinan qué método es el correcto para resolver el límite.

Para que te hagas una idea, tomemos la calculadora mencionada anteriormente, es decir, By Allmath. Está desarrollado para resolver cualquier función, ya sea que tenga un límite unilateral (izquierdo o derecho) o bilateral.

Tiene un teclado matemático que contiene los operadores más utilizados en las funciones. Esta opción hace que la introducción de funciones sea muy fácil.

Este solucionador de límites también proporciona el cálculo completo con una explicación. Cada paso está escrito de forma distintiva.

¿Cómo usar esta calculadora?

Para encontrar el límite de una función usando un solucionador de límites, siga las instrucciones dadas.

1. Introduzca la función.
2. Seleccione la variable con respecto a la cual está resolviendo el límite.
3. Seleccione el tipo de límite.
4. Introduzca el valor límite.
5. Haga clic en Calcular.
6. Haga clic en Restablecer para resolver una nueva función.

La opción de descarga también está disponible para facilitar la revisión y referencia en el futuro.

Conclusión:

En conclusión, la capacidad de calcular los límites manualmente dota a los alumnos de una comprensión y apreciación más profundas de las teorías y principios matemáticos en juego. Al mismo tiempo, el uso de calculadoras en línea sirve como una herramienta complementaria, asegurando precisión y eficiencia en la resolución de problemas límite.

Ambos enfoques son de gran importancia en el estudio del cálculo, ya que cada uno mejora al otro y proporciona a los estudiantes y matemáticos los medios para abordar una amplia gama de desafíos matemáticos.